应用统计方法在线教学——假设检验的思想——问题式教学案例研究

2020年的这场突如其来的战役，打乱了人们的生活，同时也改变了我们思维模式。作为高校教师，我们的教学模式也发生了改变。教育部提出的“停课不停学”的文件后，学校就通过雨课堂直播培训如何操作，怎么样去开展直播。通过不断地学习、实践，力争在在线教学中提高质量，以至达到传统课堂教学效果，甚至超过传统教学效果。本案例以《应用统计方法》假设检验的思想一节为例，采用问题式教学方法，开展在线教学模式。

1、教学背景

《应用统计方法》是面向全校工科各专业研究生开设的统计课程。主要内容有数理统计的基本理论和方法，以及一些实用的多元统计方法及应用，并对实际案例的进行数据分析。同时介绍SAS统计软件的实现过程。掌握数理统计的基本思想方法，理解多元正态分布的统计推断方法，掌握多元线性回归、聚类、判别的思想和方法，并能够借助SAS统计软件解决多维数据分析的实际问题。学完本课程后，学生应达到以下基本要求：

1. 能够深刻地理解数理统计的基本思想方法。

2. 能够应用学过的实用多元统计方法解决与专业相的关实际问题。

3. 具有利用SAS统计软件处理分析多维数据的能力。

本案例的设计是为了达成目标1，让学生深刻地理解数理统计的基本思想方法。重点讲解假设检验的思想、步骤、方法。本课程是面向1９级工科研究生，因本科学生学习过《概率统计》，具备初步的概率统计知识，对应用统计方法感兴趣，学生学习积极性高。但因学生的概率统计基础参差不齐，因此，教学中要把应用统计方法思想讲透彻，明白要解决的问题、处理方法等，使学生建立起统计思维方式，而不能一知半解，似懂非懂。

2、教学设计思路

首先通过两个例子引出假设检验是解决什么样的问题。指出假设检验是区别估计的另一大类统计推断问题。它是先假设总体具有某种特征，例如总体的参数为多少，然后再通过对样本的加工，即构造统计量，推断出假设的结论是否合理。假设检验有它独特的统计思想，也就是说引入假设检验是完全必要的。我们来考虑下面的例子。

Example 3.1  某厂家向一百货商店长期供应某种货物，双方根据厂家的传统生产水平，定出质量标准，即若次品率超过3%，则百货商店拒收该批货物。今有一批货物，随机抽43件检验，发现有次品2件，问应如何处理这批货物？

先假设次品率p≤3%， 然后从抽样的结果来说明p≤3%这一假设是否合理。注意，这里用的是“合理”一词，而不是“正确”，粗略地说就是“认为p≤3% ”能否说得过去。

Example 3.2  某研究所推出一种感冒特效新药，为证明其疗效，选择200名患者为志愿者。将他们均分为两组，分别不服药或服药，观察三日后痊愈的情况，得出下列数据。

问新药是否确有明显疗效？

从例子3.2数据来看，新药似乎有一定疗效，但效果不明显，服药者在这次试验中的情况比未服药者好，完全可能是随机因素造成的。对于新药上市这样关系到千万人健康的事，一定要采取慎重的态度。这就需要用一种统计方法来检验药效，假设检验就是在这种场合下的常用手段。具体来说，我们先不轻易地相信新药的作用，因此可以提出假设“新药无效”，除非抽样结果显著地说明这假设不合理，否则，将不能认为新药有明显的疗效。这种提出假设然后做出否定或不否定的判断通常称为显著性检验(Significance test)。

其次，引导学生思考这两个例子有什么区别？讨论总结。

假设检验也可分为参数检验(Parametric test)和非参数检验(Nonparametric test)。当总体分布形式已知，只对某些参数做出假设，进而做出的检验为参数检验；对其它假设做出的检验为非参数检验。如例3.1中，总体是两点分布，只需对参数 做出假设检验，这是参数检验问题，而例3.2则是非参数检验的问题。

无论是参数检验还是非参数检验，其原理和步骤都有共同的地方，我们将通过下面的例子来阐述假设检验的一般原理和步骤。

Example 3.3  据报载，某商店为搞促销，对购买一定数额商品的顾客给予一次摸球中奖的机会，规定从装有红、绿两色球各１０个的暗箱中连续摸１０次（摸后放回），若10次都是摸得绿球，则中大奖。某人按规则去摸１０次，皆为绿球，商店认定此人作弊，拒付大奖，此人不服，最后引出官司。

我们在此并不关心此人是否真正作弊，也不关心官司的最后结果，但从统计的观点看，商店的怀疑是有道理的。因为，如果此人摸球完全是随机的，则要正好在10次摸球中均摸到绿球的概率为，这是一个很小的数，一个统计的基本原理是在一次试验中所发生的事件不应该是小概率事件。现在既然这样小概率的事件发生了，就应当推测出此人摸球不是随机的，换句话说有作弊之嫌。

上述就是假设检验的全部过程。包含了这么几步：提出假设，抽样，并对样本进行加工（构造统计量），定出一个合理性界限，得出假设是否合理的结论。所谓“小概率事件”。究竟多大概率为小概率事件？在一个问题中，通常是指定一个正数，认为概率不超过的事件是在一次试验中不会发生的事件，这个称为显著性水平(Level of significance)。对于实际问题应根据不同的需要和侧重，指定不同的显著性水平。通常可选取 =0.01，0.05，0.10等。

下面我们用假设检验的语言来模拟商店的推断：

1⁰ 提出假设：

 ：此人未作弊；：此人作弊。

这里称为原假设(Null hypothesis)，称为备选假设(Alternative hypothesis)或对立假设(Opposite hypothesis)。

2⁰ 构造统计量，并由样本算出其具体值。

统计量取为10次模球中摸中绿球的个数，由抽样结果算出。

3⁰ 求出在下，统计量的分布，构造对不利的小概率事件。

易知，在下，即如果此人是完全随机地摸球的话，统计量服从二项分布，其分布列为，，那么此人摸到的绿球数应该在平均数5个附近,所以对不利的小概率事件是:“绿球数大于某个较大的数，或小于某个较小的数。”在此问题中，若此不成立，即此人作弊的话，不可能故意少摸绿球，因此只需考虑事件“大于某个较大的数”，这个数常称为临界值，即某个分位数。

4⁰ 给定显著性水平，确定临界值：

即取一数使得．如取=0.01,由分布列算出：

对于这种离散型概率分布,不一定能取到.取最接近的,使当成立时，，因此，即该小概率事件是。

5⁰ 得出结论:

已算得 ，即发生了，而被视为对不利的小概率事件,它在一次试验中是不应该发生的，现在居然发生了，只能认为是不成立的，即 ：“此人作弊”成立。

这一推断过程,也是假设检验的一般步骤，在这些步骤中，关键的技术问题是确定一个适当的用以检验假设的统计量，这个统计量至少应该满足在成立的情况下，其抽样分布易于计算或查到。

最后给出假设检验的本质。

在统计量选定以后，便可构造出由该统计量描述某个显著性水平下的一小概率事件，我们称使得这一小概率事件发生的样本空间的点的全体。

为的否定域(Negation region)或拒绝域(Rejection region)，通常也简记为。最后的检验即是判断所给的样本是否落在内，或者是是否成立。

从这个意义上可以说设计一个检验，本质上就是找到一个恰当的否定域，使得在成立下，它的概率

今后我们总是把统计检验中提到的“小概率事件”视为与否定域是等价的概念。另外，称的余集为的接受域。

最后给出和本节课相关的课下思考题目：如果Example3.3中此人事实上没有作弊，那我们的假设检验中会遇到什么问题？这就涉及到下节课的知识点，假设检验犯错误的概率问题。

3、教学目标

本案例通过例子引入，让学生明白假设检验是解决什么样的问题，又从显而易懂的实际问题入手给出如何解决问题，完成目标学习目标，学生能够深刻地理解假设检验的基本思想和方法。

4、教学效果和创新特色

课程主要使用“腾讯课堂”线上直播教学模式授课，利用讨论区和举手上台两种方式和学生互动交流；教学过程中，“腾讯课堂”在线授课流畅，值得一提的是“腾讯课堂”平台能够将“手写板”与线上教学相关联，实现板书功能，细致展现教学过程。统计方法公式较多，学生需要跟随老师的推导理解内容，手写板功不可没。

同时本课程利用“雨课堂”推送预习课件、作业试卷等教学资料，并利用“微信群”对学生的疑难问题进行答疑。加强课前预习环节，提前推送预习课件；课后学生有疑点问题，相关内容难点、疑点会在微信群里发相关的知识点。

5、反馈与体会

在问题式在线教学过程中，学生能够带着问题学习，提高了学习兴趣，激发学生分析生活中的事实或现象，体验关于这些事实的日常概念与科学概念之间的矛盾；提出假设，概述问题，并检验结论；学生通过比较发现现象自身的矛盾；学生对各种矛盾的事实、现象进行观察、比较、激起客观事实与学生原有知识的冲突，从而实现学生对问题认识上的思想成长。

面对网络授课这一全新的教学模式，要勇敢面对，积极探索网络教学模式的特点。课前，学生通过微信群或雨课堂平台获得资料，以备学生预习以及上课听讲所用；上课时，鼓励学生积极思考、问题式引出问题，老师可通过网络平台互动及时了解学生的情况；课后，通过班级微信群，灵活回答学生提问。

同时突出优秀学生的作用，研究生的层次参差不齐，问题有难有易，为了保证答疑效果以及激发学生课下学习的热情，鼓励好学生在群里为发言、讨论、解答问题。如果学生解答正确，会点赞，如果解答有错误，通过微信语音或文字或图片指出来，这样无论哪一个层次的学生都能明白问题的错误点在哪里，这种教师带领、指导下的“传、帮、带”式学习方式值得在研究生教学中推广，三个臭皮匠顶一个诸葛亮。把问题式教学方式进一步深入到在线教学中，也需要教师储备更多的来自实践的问题，以提高了学生学习探究的积极性，从而提高教学质量。以下图片是和学生的互动情况。

线上直播教学更新了教学理念和模式，也给学生的学习创造了机会。线上教学在继续，教学改革也在继续，希望疫情赶快过去，期待春暖花开，与学生见面。